Plecarea de la societate si angajarea la o alta societate

Buna ziua. As dori sa aflu care sunt pasii de urmat pentru a pleca dintr-o societate, in conditiile in care vreau sa ma angajez la o alta societate.
De exemplu: ultima zi de lucru efectiv la societatea X este de 05 iulie 2013, iar la societatea Y prima zi de lucru este de 08 iulie 2013, (la societatea Y m-au chemat pe 05 iulie pentru semnarea contractului de munca). La societatea X am depus o cerere de demisie (data demisiei 27.06.2013) si cu data de incetare a contractului data de 08.07.2013. Cei de la personal mi-au spus ca nu este buna cererea de demisie pentru ca trebuie sa stau in preaviz de 15 zile calendaristice, (dar am vorbit cu administratorul si accepta sa mai atau perioada 01-05 iulie 2013). Intrebarea mea este: cum as putea sa fac sa am continuitate de la un contract la altul ( adica inchei la soc. X pe data de 08 iulie 2013 si sa-mi faca angajarea cu data de 05 iulie 2013), si cum ar trebuie sa fac cererea pentru plecarea din soc. X. Imi trebuie continuitatea pentru ca daca vreau sa adopt un copil sau sa intru in somaj sa nu ma lovesc de birocratie , adica sa am vreo zi libera intre contracte.
Va multumesc anticipat pentru ajutor.