Lipsa inregistrare vechime in munca, in Cartea de Munca

Va rog sa ma ajutati si pe mine cu un raspuns la urmatoarea problema: am fost angajata la o firma, cu contract de munca pe perioada nedeterminata, timp de 1 an. La incetarea contractului de munca (prin demisie) am aflat ca nu mi s-a intocmit Carte de Munca. Noul angajator mi-a solicitat de la acea firma, o adeverinta vizata de ITM, din care sa rezulte vechimea in munca, in scopul de a-mi intocmi ei, Carte de Munca. Atunci mi s-a spus ca mi se va inregistra si acea vechime. Acum, cand mi-a incetat contractul individual de munca si cu aceasta firma (conform art 65 Codul Muncii), si mi s-a eliberat Cartea de Munca, am observat ca activitatea desfasurata la prima firma nu mi-a fost notata. Ce ma sfatuiti sa fac? Acea perioada poate fi inregistrata de un alt angajator? Mai pot solicita inca o adeverinta de vechime de la prima firma, avand in vedere ca cea care mi s-a eliberat atunci, nu se mai gaseste?