Demisie cu probleme: sunt în situația de a nu mă putea prezenta la un post câștigat prin concurs. Ce mă sfătuiți?

Salutări tuturor! Lucrez la o firma particulară, gestionar la un peco.Intre timp am susținut un concurs de ocupare a unui post de asistent medical la un spital de stat unde am reușit să îl trec.Problema mea este ca cei de la spital mi-au cerut prezentarea actelor pentru semnarea contractului în 5 zile , iar la locul de munca actul sunt în preaviz și nu vor nici în ruptul capului sa ajungem la o înțelegere de reziliere a contractului fără preaviz. Eu în 6 zile trebuie sa ma prezint la noul loc de munca și nu am cum sa ma împart la 2 servicii în același timp. Cei de la spital mi-au cerut adeverință de vechime și revisal pentru a-mi calcula salariul contractului. Eu acum nu am cum sa prezint aceste documente dacă în locul actual de munca nu îmi este încheiat contractul. Chiar nu știu cum sa procedez, m-am străduit mult timp să reușesc să prind locul acesta la spital și acum vad cum mi se năruie "visul". Ce pot sa fac? Ce soluții am?ce pot face dacă angajatorul nu dorește sa îmi accepte demisia fără preaviz??